Меню Закрыть

Пособие по начертательной геометрии для студентов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО «Начертательной геометрии» (Учебное пособие)

1 1 Федеральное агентство по образованию Коломенский институт (филиал) Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Инженерно-экономический факультет Кафедра: «Технология машиностроения и САПР» «Утверждаю» Зав. каф.: 2013г. Федосеева С.Г. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО «Начертательной геометрии» (Учебное пособие) Направление: Конструкторско-технологическое обеспечение Заочное отделение Коломна 2013 г.

2 2 Введение Настоящие методические указания составлены с целью оказания помощи студентам в процессе выполнения курсовой работы при изучении курса начертательной геометрии. Прежде чем приступить к решению любой задачи курсовой работы, следует проработать соответствующие разделы курса по лекциям и учебникам. Рабочей программой предусматривает выполнение 0.5 курсовой работы по начертательной геометрии. В течение семестра каждому студенту предлагается выполнить 9 задач курсовой работы в соответствии с назначенным номером варианта. Номер варианта соответствует порядковому номеру по групповому журналу. Задачи (варианты координат заданных точек, образцы выполнения задач) выбираются по Чекмарев А.А. «Начертательная геометрия. Инженерная и машинная графика» (Программы, контрольные задания и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических и педагогических специальностей вузов) Цели и задачи курсовой работы Дисциплина «Начертательная геометрия» является одной из фундаментальных дисциплин в подготовке дипломированных специалистов и бакалавров. Проектирование, изготовление и эксплуатация машин, механизмов, а также современных зданий и сооружений связаны с изображениями рисунками, эскизами, чертежами, что ставит перед графическими дисциплинами ряд важных задач. Они должны обеспечить будущим бакалаврам и инженерам знание общих методов построения и чтения чертежей; решения большого числа разнообразных инженерногеометрических задач, возникающих в процессе проектирования и конструирования; изготовления и эксплуатации различных технических и других объектов. Методы начертательной геометрии необходимы для создания машин, приборов и комплексов, отвечающих современным требованиям точности, эффективности, надежности, экономичности. Программа определяет общий объем знаний, подлежащих обязательному усвоения студентами. Она едина для всех форм обучения и предназначена для бакалавров и дипломированных специалистов инженернотехнических специальностей. Начертательная геометрия является теоретической основой построения технических чертежей, представляющих собой полные графические модели конкретных инженерных изделий. Задачи начертательной геометрии: развитие пространственного представления и творческого инженерного воображения;

3 3 конструктивно-геометрическое мышление; способность к анализу и синтезу пространственных форм и их отношений; изучение способов конструирования различных геометрических пространственных объектов (в основном поверхностей); способы получения их чертежей на уровне графических моделей; умение решать на этих чертежах метрические и позиционные задачи. Начертательная геометрия обеспечивают студента необходимым минимальным объемом фундаментальных инженерно-геометрических знаний, на базе которых будущий бакалавр и дипломированный специалист сможет успешно изучать сопромат, теорию машин и механизмов, детали машин и другие конструкторско-технологические и специальные дисциплины, а также овладевать новыми знаниями в области компьютерной графики, геометрического моделирования и др. Бакалавр и дипломированный специалист должен знать: методы построения обратимых чертежей пространственных объектов; изображение на чертеже прямых, плоскостей и поверхностей; способы преобразования чертежа; способы решения на чертежах основных метрических и позиционных задач; Основные требования контрольным работам. Перед решением каждой задачи изучают соответствующий материал по учебнику, решают задачу на черновике и после этого студенты предоставляют преподавателю. Линии построения должны быть сохранены. После проверки работа возвращается студенту для доработки или исправления ошибок. Студенты оформляют задание чертежом. Формат листов чертежной бумаги для курсовой работы принимают А3 (297х420) по ГОСТ построения выполняют в масштабе 1:1. на каждом листе чертят рамку с полем 20 мм слева (на подшивку) и 5 мм по трем сторонам. В правом нижнем углу выполняют основную надпись. Работу выполняют карандашом, чертежными инструментами с соблюдением требованием ГОСТ к линиям чертежа. Толщину основной линии рекомендуется выдерживать 0,8 1 мм. В левом нижнем углу следует вычертить таблицу с координатами заданных точек. В работах по начертательной геометрии допускается обводка результатов выполненных построений цветным карандашом. Каждую задачу студенты должны защитить, т.е. рассказать план решения данной задачи. Оформляют титульный лист в соответствии с ГОСТ Титульный лист альбома чертежей выполняется на листе чертежной бумаги формата А4 (210х297). Листы курсовой работы брошюруют в виде альбома с титульным листом.

4 4 К экзамену допускаются студенты при условии защиты всех задач курсовой работы. Методика решения задач Задачи, решаемые графическим путем с применением правил начертательной геометрии, можно отнести к трем типам: позиционные (на определение общих элементов или взаимного расположения фигур), метрические (на определение расстояний и углов) и задачи смешанного типа. Эти задачи могут быть элементарными и комплексными, состоящими из ряда элементарных. Решение каждой задачи можно разбить на несколько этапов: анализ задачи, составление плана решения, построения на чертеже. Цель анализа выяснить, какими свойствами обладают данные геометрические фигуры, а также установить связь между ними. Для этого следует прочесть чертеж, т.е. уяснить по имеющимся на чертеже точкам и линиям (проекциям геометрических фигур), какие фигуры заданы, как они расположены в пространстве (относительно плоскостей проекций) и друг относительно друга. Далее составляется план решения, устанавливающий содержание и порядок действий, необходимых для решения задачи. В зависимости от вида задачи этот план может иметь в основе либо общее правило (алгоритм), либо индивидуальную схему решения, опирающуюся на пространственные представления и теоретические положения элементарной геометрии. В соответствии с принятым планом решения следует наметить на основе теоретических положений начертательной геометрии последовательность построений на чертеже (в проекциях). Правильность полученного результата зависит как от выбора рационального пути решения, так и от точности выполнения графических построений. Доказательством правильности решения задачи является соответствие искомого результата поставленным условиям при соблюдении необходимых теоретических положений. Контрольные работы Первая контрольная работа Построить линию пересечения двух треугольников АВС и EDF, определить видимость сторон треугольников, полагая их непрозрачными. Координаты вершин треугольников приведены в табл. 1; пример выполнения задачи 1 на рис. 2. (см. стр.15) Методические указания: Данная задача относится ко второй позиционной задачи. Линия пересечения плоскостей треугольников проходит через две точки, каждую из которых строят как точку пересечения стороны одного треугольника с плоскостью другого. Для этого одну из сторон заключают во вспомогательную плоскость, находят линию пересечения ее с плоскостью второго треугольника и отмечают точку пересечения построенной линии со стороной первого треугольника. Аналогично строят вторую точку, и через

5 5 построенные точки проводят линию пересечения. Видимость сторон треугольников определяют анализом положения точек, одноименные проекции которых совпадают(«конкурирующие точки») D =(5 2 ) 7 2 B 2 f 0 Ф A 2 F 2 N М E 2 f 0 Г C 2 D1 C N1 2 1 М 1 B (6 1 )=7 1 F A 1 E 1 Последовательность построений на чертеже: Заключаем прямую DE в вспомогательную фронтально проецирующую плоскость Г. Для этого на чертеже на продолжении стороны DE проводят штрих (длиной 10мм, толщиной 2мм). Строим линию пересечения вспомогательной и заданной плоскостей. Линия 12. Фронтальная проекция линии пересечения известна, т.к. совпадает с фронтальным следом плоскости Г. Горизонтальную проекцию линии пересечения строится по принадлежности линии пересечения заданной плоскости. Находим горизонтальную проекцию точки М пересечения построенной линии пересечения и стороны DE. Фронтальную проекцию точки М находим по линии связи. DE Γ; Г π 2 ; Γ (АВС)=12; 12 DE=M. Заключаем прямую АС в вспомогательную фронтально проецирующую плоскость Ф. Для этого на чертеже на продолжении стороны АС проводят штрих (длиной 10мм, толщиной 2мм). Строим линию пересечения вспомогательной и заданной плоскостей. Линия 34. Фронтальная проекция линии пересечения известна, т.к. совпадает с фронтальным следом плоскости Ф. Горизонтальную проекцию линии пересечения строится по принадлежности линии пересечения заданной плоскости. Находим горизонтальную проекцию точки N пересечения построенной линии

6 6 пересечения и стороны АС. Фронтальную проекцию точки N находим по линии связи. АС Ф; Ф π 2 ; Ф (DEF)=34; 34 АС=N Треугольники АВС и DEF пересекаются по линии МN. АВС DEF=MN Определяем видимость треугольников АВС и DEF методом конкурирующих точек. Метод конкурирующих точек заключается в определении взаимной видимости точек по их несовпадающим проекциям. Определяем видимость на фронтальной плоскости проекций. Внешний контур наложения фронтальных АВС и DEF проекций треугольников выполняется основной линией. Основной линией вычерчивают проекцию М 2 N 2 прямой взаимного пересечения треугольников. Для выявления характера начертания отрезков проекций сторон, находящихся внутри контура наложения фронтальных проекций треугольников, на чертеже выбираем фронтально конкурирующие точки 1 и 5, т.к. координаты х и z совпадают. На плоскости π 2 видна точка 1, так как она ближе к наблюдателю (дальше от плоскости π 2, y 1 >y 5 ) и закрывает невидимую точку 5. Точку 5 заключаем в круглые скобки. Точка 1 принадлежит АВ, поэтому сторону АВ на π 2 видима. Точка 5 принадлежит DE, поэтому сторона DE на плоскости π 2 невидима. Определяем видимость на горизонтальной плоскости проекций. Внешний контур наложения горизонтальных АВС и DEF проекций треугольников выполняется основной линией. Основной линией вычерчивают проекцию М 1 N 1 прямой взаимного пересечения треугольников. Для выявления характера начертания отрезков проекций сторон, находящихся внутри контура наложения горизонтальных проекций треугольников, на чертеже выбираем горизонтально конкурирующие точки 6 и 7, т.к. координаты х и y совпадают. Точка 7 на горизонтальной плоскости проекций видима, а точка 6 закрыта, т.к. z 7 >z 6. Точка 6 заключена в круглые скобки. Точка 7 принадлежит АВ, поэтому сторона АВ на π 1 видима. Точка 6 принадлежит DE, поэтому сторона DE на π 1 невидима. Контрольные вопросы: Как строят точку пересечения прямой линии с проецирующей плоскостью? Как строят линию пересечения двух плоскостей, одна из которых проецирующая? Назвать этапы решения основной позиционной задачи? В чем заключается способы решения второй позиционной задачи? К какому способу относится данная задача? Как определить видимость при пересечении двух треугольников? Чем отличается фронтально конкурирующая точка от горизонтально конкурирующей точки?

7 7 Вторая контрольная работа Построить фронтальную и горизонтальную проекции пирамиды, основание которой является треугольник АВС, а высота — ребро SA=60мм. (см. табл. 1) (см. стр.17). Методические указания: Проводят в плоскости, заданной треугольником АВС, фронталь и горизонталь. Через точку А проводят горизонталь. Через точку С проводят фронталь. B 2 f 2 A h 2 C 2 A 1 f 1 C 1 B 1 Через точку А проводят высоту пирамиды, которая перпендикулярна треугольнику АВС. Горизонтальная проекция высоты перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция высоты перпендикулярна фронтальной проекции фронтали. На высоте выбирают произвольную точку 3. Методом вращения определяют истинную величину отрезка А3. Отрезок прямой общего положения после поворота оказывается фронтальным отрезком. i 2 B 2 f h 1 A h 2 f 0 Γ 3′ O 2 C 2 S’ 2 3′ 1 S 2 A 1 =i 1 =O f 1 C 1 S h 1 B 1

8 8 Через точку А проводят ось вращения (горизонтально проецирующая прямая). Через точку 3 проводят плоскость вращения, которая перпендикулярна оси вращения (горизонтальная плоскость). Определяют центр вращения точку О (точка пересечения плоскости вращения с осью вращения). Если прямая параллельна фронтальной плоскости проекций, то горизонтальная проекция располагается параллельно оси ОХ. Угол поворота точки 3 определяется условием параллельности новой прямой А3 1 к оси ОХ. В результате такого поворота на плоскость π 2 без искажения проецируется отрезок А3. Фронтальная проекция точки 3′ определяется по линии связи на плоскости вращения. По отрезку А3 2 откладывают истинную величину высоты (60 мм) и определяют точку S 2. Из точки S 2 проводят прямую, которая перпендикулярна оси вращения (плоскость вращения точки S). На пересечении с фронтальной проекцией отрезка А3 определяем точку S 2. По линии связи находят S 1. Проводят проекции боковых ребер. Определяют видимость боковых ребер на каждой плоскости проекций. i 2 f 2 B 2 A h 2 f 0 Γ 3′ O 2 C 2 S’ 2 3′ 1 S 2 A 1 =i 1 =O f 1 C 1 S h 1 B 1 Контрольные вопросы: Что называется фронталью, горизонталью? Как построить проекции фронтали, горизонтали на чертеже? Как располагаются проекции перпендикуляра к плоскости? В чем заключается способ вращения? Что такое плоскость вращения точки и как она располагается по отношению к оси вращения? Что такое центр вращения точки при повороте ее вокруг некоторой оси? Что такое радиус вращения точки?

9 9 Третья контрольная работа Построить фронтальную и горизонтальную проекции треугольников АВС и АСD и определить величину двугранного угла при ребре ВС. Построить проекции отрезка прямой линии, удаленной от плоскостей треугольников на расстояние 15мм. Данные к задаче приведены в табл. 2. Пример выполнения — на рис.3. (см. стр. 17) Методические указания: Двугранный угол проецируется на плоскость, перпендикулярную его ребру. Задачу удобно решить методом замены плоскостей проекций. Учитывая, что ребро ВС является отрезком прямой общего положения, выполняют две замены плоскостей проекций. При первой перемене новую плоскость проекций π 4 располагают вертикально и параллельно ребру ВС (ось Х 1 параллельна В 1 С 1 ), при второй перпендикулярно ребру ВС (ось Х 2 перпендикулярна В 4 С 4 ). Ребро ВС проецируется на плоскость π 5 в точку В 5 =С 5, плоскости в отрезки. Прямая l параллельна ребру ВС и проецируется на плоскость π 5 в точку l 5. A 2 l 2 D 2 N 2 Z A B 2 C 2 B 5 =C 5 D 1 D 5 15 l 5 15 A 1 B 1 l 1 N 1 C 1 A 5 Z A π 5 π4 π A 4 l 4 B 4 N 4 C 4 π 4 На прямой l 4 выбирают произвольную точку N 4. По линиям связи откладывая координаты, находят N 1, N 2. Через точки N 1, N 2 проводят l 1 и l 2. План решения: 1. π 2 π 1 π 4 π 1 ; π 4 АC; Х 1 А 1 С 1 π 1 π 4 2. π 1 π 4 π 5 π 4 ; π 5 АC; Х 2 А 4 С 4 π 4 π 5 D 4 и

10 10 Контрольные вопросы: Какие задачи называются метрическими? В чем заключается способ перемены плоскостей проекций? Какое положение в системе π 1, π 2 должна занять плоскость проекций π 4 вводимая для образования системы π 1, π 4? Как найти длину отрезка прямой линии и углы этой прямой с плоскостями π 1 и π 2, вводя дополнительные плоскости проекций? Сколько дополнительных плоскостей надо ввести в систему π 1, π 2, чтобы определить натуральный вид фигуры, плоскость которой перпендикулярна к пл. π 1 или к пл. π 2? Сколько и в какой последовательности надо ввести дополнительных плоскостей в систему π 1, π 2, чтобы заданная прямая общего положения оказалась перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций? Сколько и в какой последовательности надо ввести дополнительных плоскостей в систему π 1, π 2, чтобы получить натуральный вид фигуры, плоскость которой является плоскостью общего положения? Литература 1. Чекмарев А.А. «Начертательная геометрия. Инженерная и машинная графика» (Программы, контрольные задания и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических и педагогических специальностей вузов) 2. Начертательная геометрия. Инженерная и машинная графика. Программа, контрольные задания и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических и педагогических специальностей вузов Под ред. А.А. Чекмарева.-М.: Высш. шк., с.; ил. 3. Начертательная геометрия: Учеб. пособие Е.И. Белякова, П.В. Зеленый; под ред. П.В. Зеленого.- Минск: Новое знание, с.; ил. 4. Комарцов О.М. Домашние задания по начертательной геометрии: Учебное пособие.- Калуга: ООО «Манускрипт», с. 5. Павлова А.А. Начертательная геометрия: Учебник для студентов высш. учеб. заведений. М.:ООО «Издательство Астрель»: ООО «издательство АСТ», с.: ил. 6. Л.Г. Нартова, В.И. Якунин Начертательная геометрия. Теория и практика: Учебн. Для вузов / Л.Г. Нартова, В.И. Якунин. М.: Дрофа, с.: ил. 7. Соломонов К.Н., Бусыгина Е.Б., Чиченева О.Н. Начертательная геометрия: Учебник для вузов. М: «МИСИС» с. 8. Тарасов Б.Ф., Дудкина Л.А., Немолотов С.О. Начертательная геометрия. СПб.: Издательство «Лань», 2012г с. ил. (Учебники для вузов. Специальная литература)

Смотрите так же:  Приказ 10 от 15012007

КУРС НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ учебное пособие для самостоятельной работы студентов всех направлений всех форм обучения

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Строительный институт Кафедра начертательной геометрии и графики Красовская Н.И. КУРС НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ учебное пособие для самостоятельной работы студентов всех направлений всех форм обучения Тюмень, 6

2 УДК 54.8 К78 Красовская Н.И. КУРС НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ: учебное пособие для самостоятельной работы студентов всех направлений всех форм обучения. Учебное пособие./н.и.красовская Тюмень: РИО ФГБОУ ВПО ТюмГАСУ, с. Учебное пособие является обновленным и дополненным изданием предыдущего учебного пособия 6 года и предназначено для самостоятельной работы студентов всех форм обучения. Оно содержит краткое изложение основных разделов курса начертательной геометрии, поясняющие иллюстрации и вопросы для самоконтроля. В пособии изложены метод проецирования, позволяющий строить изображения пространственных объектов на плоскости, а также способы графического решения типовых метрических и позиционных задач начертательной геометрии. Содержание, структура и методика представления учебного материала в пособии полностью соответствуют требованиям государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования и перечню формируемых общекультурных и профессиональных компетенций по дисциплинам «Начертательная геометрия» и «Инженерная графика» практически по всем направлениям подготовки. Рекомендуется в качестве дополнения к учебникам для самостоятельной работы студентов, особенно заочной формы обучения. Рецензенты: Л.Н.Скипин, д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Техносферная безопасность» Тюменского государственного архитектурно-строительного университета, С.В.Якубовская д.т.н., профессор кафедры «Прикладная механика» Тюменского государственного нефтегазового университета. Тираж 5 экз. ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный архитектурно-строительный университет» Красовская Н.И. Редакционно-издательский отдел ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный архитектурно-строительный университет

3 Содержание Введение. 6 МЕТОД ПРОЕКЦИЙ. ТОЧКА Аппарат проецирования. Виды проецирования Основные свойства параллельного проецирования. 3 Обратимость чертежа. Координаты точки. Комплексный чертеж точки. 4 Точки общего и частного положения. 5 ЛИНИИ Прямая линия Задание прямой линии на чертеже. Определитель прямой. Положение прямой линии в пространстве Прямые общего положения Прямые частного положения Точка на прямой Взаимное положение прямых Теорема о проекциях прямого угла Кривые линии Плоские кривые Пространственные кривые ПЛОСКОСТЬ Способы задания плоскости на чертеже Положение плоскости относительно плоскостей проекций Плоскости частного положения Прямая и точка в плоскости Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости Параллельность и перпендикулярность двух плоскостей ПОВЕРХНОСТИ Способы образования и задания поверхностей Очерк поверхности Классификация поверхностей Линейчатые поверхности Многогранники Поверхности вращения Винтовые поверхности ТЕОРИЯ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ НА ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ Алгоритм решения задач на пересечение геометрических объектов, занимающих проецирующее положение Алгоритмы решения задач на пересечение проецирующего геометрического объекта с геометрическим объектом общего положения

4 5.. Сечение поверхностей проецирующей плоскостью Конические сечения Сечения цилиндрической поверхности Сечения поверхности сферы Сечения многогранников проецирующей плоскостью Алгоритмы решения задач на пересечение геометрических объектов с помощью посредников Алгоритмы решения первой позиционной задачи с помощью посредников. Способ секущих плоскостей Алгоритмы решения второй позиционной задачи способом секущих плоскостей Алгоритм решения второй позиционной задачи с помощью секущих сфер Алгоритм решения второй позиционной задачи с помощью концентрических сфер Некоторые частные случаи взаимного пересечения поверхностей второго порядка Касание как частный случай пересечения геометрических объектов Приближенные способы построения касательной к плоской кривой Касательные к пространственной кривой Построение прямой, касательной к поверхности Построение плоскости, касательной к поверхности СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА Основные положения Способ замены плоскостей проекций Решение четырѐх основных задач преобразования комплексного чертежа способом замены плоскостей проекций Способ плоскопараллельного перемещения Решение первой и второй задач преобразования чертежа способом плоскопараллельного перемещения Решение третьей и четвѐртой задач преобразования чертежа способом плоскопараллельного перемещения Способ вращения вокруг проецирующей прямой. Решение первой основной задачи преобразования чертежа Алгоритмы решения типовых метрических задач начертательной геометрии способом замены плоскостей проекций Определение расстояний Определение углов. 7 РАЗВЁРТЫВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Основные свойства развѐртки поверхностей Развѐртки прямых круговых конусов и цилиндров

5 7.3 Способы построения развѐрток Способ триангуляции Способ нормального сечения Условные развѐртки неразвѐртываемых поверхностей ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ Проекции точки Проекции прямой Положение прямых в пространстве Градуирование прямой Проекции плоскости Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости Поверхности в проекциях с числовыми отметками ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ПРОЕКЦИИ Основные положения и понятия Выбор рационального положения картины и точки зрения при построении перспективы Перспектива горизонтальных прямых Перспектива многоугольника Перспектива окружности Построение перспективы пространственных объектов Построение теней в перспективе. 4 Библиографический список Приложение А. Символы и обозначения, принятые в пособии

6 Введение Предметом начертательной геометрии являются пространственные формы, их различные сочетания, а также отношения между ними. Целью освоения дисциплины является получение знаний, умений и навыков геометрического формирования, построения и взаимного пересечения моделей плоскости и пространства. В результате освоения дисциплины для многих направлений у студента должны быть сформированы следующие компетенции: ОК-7 — способность к самоорганизации и самообразованию; ОПК- -способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования. Начертательная геометрия является лучшим средством развития у человека пространственного воображения, способностей к анализу и синтезу пространственных форм и отношений между ними и является теоретической базой для построения технических чертежей, которые представляют собой полные графические модели конкретных инженерных изделий. Геометрия зародилась как наука об измерении земельных наделов и затем стала наукой, изучающей формы плоских и пространственных фигур и отношения между ними. Позднее появились новые ее направления, в том числе и начертательная геометрия, так как потребовались дополнительные знания и приемы изображения объемных предметов трехмерного пространства на двухмерном носителе — листе бумаги, доске и т.п. Основание начертательной геометрии как науке было положено трактатом «Начертательная геометрия» французского ученого и инженера Гаспара Монжа (746-88). Он смог свести все идеи и приемы геометрии в стройную систему, собрав в одно целое предложения многих ученых. Гаспар Монж разработал теорию отображения объектов пространства на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций и опубликовал свой первый учебник по начертательной геометрии. Немалый вклад в историю развития способов изображения различных объектов пространства на двухмерном носителе внесли художники, ученые и изобретатели России. Об этом говорят каменные летописи соборов, фрески и мозаики, миниатюры в печатных изданиях, иконы, при изготовлении которых использовались приемы обратной и линейной перспективы, и т.д. В российских архивных документах понятие «чертеж» уже встречается в 578 году, а в 638 году встречается слово «чертещик». Большое распространение методы изображения различных предметов получили при изготовлении картографических чертежей и в кораблестроении в эпоху Петра, который и сам был искусным конструктором и чертежником. 6

7 Чертежи при Петре содержали три вида: «бок», «полуширота», «корпус», что соответствовало фронтальной, горизонтальной и профильной проекциям. В 8 году русский ученый Я.А. Севастьянов издал «Основания начертательной геометрии». Большой вклад в развитие начертательной геометрии внесли такие русские ученые как В.И. Курдюмов. Е.С. Федоров, Н.А. Рынин, Н.Ф. Четверухин, А.В. Бубенников, И.И. Котов, С.А. Фролов и др. Новый этап развития начертательной геометрии и черчения связан с внедрением компьютерных технологий. В настоящее время для автоматизации конструкторских работ используется система «utocd», а также графическая программа отечественного производства «Компас» с множеством различных приложений. Но для того, чтобы научиться строить чертежи с помощью компьютера, необходимо хорошо знать основы построения чертежей. Даже самая «умная» машина сможет чертить лишь тогда, когда у пульта ее будет стоять человек, знакомый с основами начертательной геометрии. «Если чертеж является языком техника, одинаково понятным всем народам, то начертательная геометрия служит грамматикой этого мирового языка, так как она учит нас правильно читать чужие и излагать наши собственные мысли, пользуясь в качестве слов одними только линиями и точками как элементами всякого изображения» — так писал в книге «Курс начертательной геометрии» ее автор Валериан Иванович Курдюмов. Пространство и существующие в нем предметы объекты — можно представить в виде множества элементарных геометрических образов: точек, линий, которые и являются неким ключом графической информации о свойствах объекта, для передачи которой необходим способ так называемого графического общения. Совокупность средств и действий для передачи графической информации образует аппарат графического общения, который включает в себя основные понятия начертательной геометрии: геометрическое пространство, геометрический образ (объект), отображение. Геометрическое пространство рассматривается как множество точек. Оно может быть -мерным (точка), одномерным (прямая), двухмерным (плоскость), трехмерным (объемная фигура), четырехмерным, n мерным. Из точек пространства формируются геометрические образы: линии, плоскости, поверхности. Геометрический образ (объект) — это множество точек, выделенных из пространства и подчиненных определенным условиям. Отображение — это правило, которое устанавливает принцип однозначного соответствия точек трехмерного пространства и вполне определенных точек двухмерного пространства (плоскости). Процесс отображения геометрических объектов трехмерного пространства на двухмерном носителе — плоскости с помощью проецирующих лучей называется проецированием. Полученное в результате проецирования изображение геометрического объекта называют его проекцией. 7

8 . МЕТОД ПРОЕКЦИЙ. ТОЧКА Любой объект пространства состоит из множества точек. Точка как геометрический объект не имеет величины, но занимает в пространстве определенное положение, поэтому она является одновременно и абстрактным образом, и вполне реальным. Точку называют — мерным объектом. Отобразить точку, значит, построить ее проекции. аппарат проецирования. Виды проецирования В повседневной жизни, сами того не замечая, люди постоянно встречаются с понятием «проекция». Так, например, тень предмета, отбрасываемая на стену, это проекция его на плоскость, рисунок.. Рисунок. Всякая проекция отображение, и для понимания процесса отображения необходимо ввести три понятия: — что проецируют объект проецирования; — на что проецируют поверхность проецирования; — как проецируют способ (вид) проецирования. В качестве объектов проецирования могут выступать любые предметы окружающего мира. Простейшим объектом проецирования является точка. За поверхность проецирования Гаспар Монж предложил взять самый простой двухмерный носитель отображений — плоскость, рисунок.. Если через точку А, (рисунок.), из некоторого центра S провести луч a, который будет называться проецирующим, то на плоскости П 8

9 получится отображение точки — проекция А, являющаяся результатом пересечения луча а с плоскостью проекций П. Рассмотренные простейшие геометрические образы: точка, прямая (луч), плоскость являются основными элементами так называемого аппарата проецирования. S А П А a Рисунок. Итак, в аппарат проецирования входят: — объект проецирования (А); — плоскость проекций (П ); — центр проецирования (S); — проецирующий луч (а); — проекция объекта (А ). Точки в данном пособии обозначаются прописными буквами латинского алфавита. C, D и т.д.; прямые строчными буквами: a, b, c, d ; плоскости проекций греческой буквой П (пи): П, П, П 3, П 4 П n. К основным формообразующим элементам пространства относятся точка, прямая и плоскость; ими определяются простые трехмерные фигуры, из которых, в свою очередь, создаются более сложные объекты пространства. Любые две точки, не имеющие размеров, но имеющие определенное положение в пространстве, определяют одномерный объект (имеющий один размер — длину) — прямую линию. Поэтому, чтобы получить проекцию прямой на плоскости П, достаточно спроецировать на эту плоскость любые ее две точки, рисунок.3. А В — проекция отрезка АВ заданной прямой на плоскость П ; А = a П ; В = b П. Любые три точки, не лежащие на одной прямой, определяют в пространстве двухмерный объект (имеющий два размера: длину и ширину) — плоскость. Для построения проекции плоской фигуры достаточно спроецировать на плоскость проекций три ее точки, рисунок.4. А В С — проекция плоской фигуры АВС на плоскость П. 9

10 Рассмотренный вид проецирования, когда проецирующие лучи исходят из одного центра проекций S, расположенного на конечном расстоянии от плоскости проекции П, называется центральным. Примером этого вида проецирования может служить центральная проекция кадров киноленты на экран. На основе центрального проецирования выполняется линейная перспектива. Недостатком такого вида проецирования является его сложность, искажение формы и размеров отображаемого предмета на изображении. А П Рисунок.3 Рисунок.4 Если центр проецирования S бесконечно удалить от плоскости проекции П, тогда проецирующие лучи через все проецируемые точки будут параллельны друг другу и некоторому заданному направлению проецирования s, и проецирование становится параллельным, рисунки.5 и.6. Параллельные проецирующие лучи могут быть направлены к плоскости проекций П перпендикулярно и не перпендикулярно, тогда в первом случае проецирование называют прямоугольным (ортогональным), рисунок.5, а во втором косоугольным, рисунок.6. П А 8S s П S А 8 s А А a b a b Рисунок.5 Рисунок.6

11 Основным видом проецирования является прямоугольный (ортогональный). Именно этот способ отображения встречается в самых древних рисунках, на изображениях египетских сооружений и т.д. Да и в окружающем человека пространстве, в природе все расположено перпендикулярно плоскости земли. Возможно, первопричина понятия перпендикулярности — сила гравитации. К тому же в этом случае потребуется минимальный расход строительного материала для достижения максимальной высоты, а природа — экономная хозяйка. При использовании ортогонального способа проецирования сохраняется высокая метричность, и он не сложен. Основные свойства параллельного проецирования Точка проецируется в точку, в общем случае прямая в прямую, плоская фигура в плоскую фигуру, объемные тела в плоские фигуры, рисунки..4. Проекции параллельных прямых параллельны, рисунок.7. Если а b, то а b. Если точка лежит на прямой, то и проекция этой точки лежит на соответствующей проекции данной прямой, рисунок.7. Если D СK, то D С K. Отношение отрезков проекций прямой равно отношению отрезков прямой в пространстве, рисунок.7. С D : D K = CD : DK. a b C D K a b K D C П Рисунок.7.3. Обратимость чертежа. Координаты точки. Комплексный чертеж точки Как видно из рисунков. -.8, при проецировании точки на одну плоскость невозможно определить ее положение в пространстве. Например, на рисунке.8. точка пересечения проецирующего луча а с плоскостью проекций П является одновременно проекцией точки А и проекцией точки В (эти точки называют конкурирующими). В таких случаях говорят, что чертеж необратим. А именно обратимость чертежа является одной из важнейших инженерных задач.

12 Обратимый чертеж — это чертеж, позволяющий однозначно определять форму, размеры и положение предмета в пространстве. П S = а Рисунок.8 Известно, что любая точка трехмерного пространства задается тремя числами — координатами. Чисел — три, значит, и система проецирования должна содержать три геометрических элемента, на которые проецируется объект. Три взаимно перпендикулярные плоскости — наиболее простой вид задания этих элементов, относительно которых и определяется положение точки в пространстве, рисунок.9. П П П 3 Рисунок.9 Плоскость П называется горизонтальной плоскостью проекций, плоскость П фронтальной, плоскость П 3 профильной. Точка начало координат. Линии пересечения плоскостей проекций называются осями проекций: х = П П ; у = П П 3 ; z = П П 3.

13 Плоскости проекций считаются непрозрачными и бесконечными и делят все пространство на 8 октантов. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первом октанте на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Поскольку эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те точки, линии и фигуры, которые расположены в пределах одного и того же — первого октанта. Пусть в пространстве имеется некоторая точка А, рисунок.. При ортогональном проецировании ее на три плоскости проекций получатся три проекции точки: А — горизонтальная проекция; А — фронтальная проекция; А 3 — профильная проекция. Положение точки будет однозначно задано тремя координатами:, y, z. Координатой точки называется расстояние от точки до плоскости проекций. Координата — это расстояние от точки до плоскости П 3 — широта точки (абсцисса); y — до плоскости П — глубина (ордината); z — до плоскости П — высота точки (аппликата). Координаты точки записываются в следующем порядке: А(, y, z) и измеряются в миллиметрах, например, А(3,,). Линия y z называется координатной ломаной линией. П z П 3 y П z z y 3 y z 3 Рисунок. Рисунок. Для обеспечения удобства использования отображения объекта на три плоскости проекций Гаспар Монж разработал механизм образования комплекса взаимосвязанных двухмерных проекций на плоском носителе. Для этого плоскости проекций П и П 3 вращением вокруг соответствующих осей проекций совмещают с плоскостью П, получая комплексный чертеж эпюр («epure» в переводе с французского очищенный). 3

Смотрите так же:  Налог 77 москва

14 После совмещения плоскостей убирается сам проецируемый объект, проецирующие лучи и контуры отсеков плоскостей проекций, остаются лишь оси, изображения — проекции объекта и линии связи, рисунок.. Такой чертеж называют трехкартинным. Линии А А, А А 3 и А А 3 называются линиями проекционной связи. Ось y при совмещении плоскостей проекций раздваивается, но при этом у А = у А3 = А А = А z А 3. По полученному чертежу уже можно вполне судить о положении точки в пространстве. Таким образом, трехкартинный чертеж является обратимым. Из рисунка. видно, что: — горизонтальная и фронтальная проекции точки А — А и А — лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной оси х; — фронтальная и профильная проекции точки А — А и А 3 — лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной оси z; — горизонтальная и профильная проекции точки А — А и А 3 — лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной оси у. Любая проекция точки определяется парой координат: А (, y); А (, z); А 3 (y, z), поэтому она является двухмерной. Если взять не три, а любые две проекции точки, то можно убедиться, что вместе они всегда определяются тремя координатами х, у, z, рисунок.. z П z П y y y Рисунок. Рисунок.3 Следовательно, для однозначного определения положения точки в пространстве необходимо и достаточно задать две ее проекции. Именно к этому выводу пришел Г.Монж и предложил ограничиться при отображении точки рассмотрением только двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций П и П. 4

15 При этом абсолютное значение координаты х заменяют относительным, что вполне достаточно для решения большинства инженерных задач. Чертеж, состоящий из двух проекций объекта, называют двухкартинным, рисунок Точки общего и частного положения Точка как объект отображения может занимать различное положение относительно плоскостей проекций. Если точка определяется координатами, отличными от нулевого значения, то говорят, что точка занимает общее положение. Если все три проекции точки находятся на определенной плоскости проекций, то и сама точка принадлежит этой плоскости проекций. А если все проекции точки лежат на какой-либо оси проекций, то и сама точка находится на данной оси. В этих случаях говорят, что точка занимает частное положение. На рисунке.4 точка А произвольно расположена в пространстве, т.е. занимает общее положение, точка В принадлежит плоскости проекций П (В П ), точка С принадлежит плоскости проекций П (С П ), точка D расположена на оси х (D х). С C = =C С П П П В В = =В СC D =D = D =D= D Вопросы для самопроверки Рисунок.4. Как проходят линии проекционной связи к плоскости проекций при ортогональном проецировании?. Какая координата измеряет широту точки? 3. Чему равна координата у для точки, лежащей во фронтальной плоскости проекций? 4. Сколько проекций достаточно для обратимости чертежа точки? 5. Как называется плоскость П? 6. Как называется линия пересечения фронтальной и профильной плоскостей проекций? 5

16 . ЛИНИИ Линия как геометрический объект имеет большое значение в научной деятельности человека. Движением линии задают поверхность, ею моделируют протекание многих процессов во времени, линии позволяют установить и исследовать функциональные зависимости между величинами любой природы, с помощью линий можно решить многие научные и инженерные задачи, исследование которых аналитическим путем громоздко и затруднительно. В начертательной геометрии к определению линии целесообразно подойти с позиции движения. Линия — это множество положений непрерывно движущейся в пространстве точки, рисунок.. z z Рисунок. В начертательной геометрии линии изучают по изображениям на чертеже их проекций. Поэтому, чтобы задать линию на чертеже, необходимо задать две ее проекции. Прямая линия Простейшей линией является прямая, которая получается при движении точки без изменения направления движения. Прямая линия имеет длину, но не имеет толщины, поэтому является одномерным объектом. Задание прямой линии на чертеже. Определитель прямой. Положение прямой линии в пространстве Как известно из элементарной геометрии, прямая линия определяется в пространстве двумя ее точками. На комплексном чертеже она задается проекциями, и для однозначного задания прямой на чертеже достаточно задать проекции двух не тождественных точек этой прямой. 6 y y

17 Прямая линия может быть задана на комплексном чертеже по-разному: — проекциями двух точек, принадлежащих прямой линии, рисунок. а; — проекциями ее отрезка, рисунок. б; — проекциями некоторой ее произвольной части, без указания концевых точек прямой, рисунок. в; — проекциями некоторой произвольной части прямой, с обозначением проекции ее одной буквой, отнеся ее к какой-либо точке прямой или к проекции в целом, рисунок. г; Совокупность элементов, необходимых для однозначного задания геометрического объекта на чертеже, называется его определителем. а) б) в) г) А А a a a a А А a (А, ) a ([ А ]) a(a, a ) a(а, a ) Рисунок. Определитель записывается в круглых скобках, например: а([]), т.е. прямая а задана отрезком АВ. Прямая линия в пространстве может занимать различное положение относительно плоскостей проекций: общее и частное. Прямые общего положения Прямые, не параллельные и не перпендикулярные ни одной из плоскостей проекций, называются прямыми общего положения. Проекции отрезков таких прямых при ортогональном проецировании всегда меньше их натуральных величин, рисунок.3. 7

18 П П s a a a z 3 a 3 s П 3 3 y À a a a z 3 3 a y 3 3 À3 3 y Рисунок.3. Прямые частного положения Прямые, параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются прямыми частного положения. Прямые, параллельные одной из плоскостей проекций, называются прямыми уровня. Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью. Все точки такой прямой находятся на одинаковом расстоянии от горизонтальной плоскости проекции П, поэтому координата z у них одинакова, следовательно, фронтальная проекция горизонтали расположена всегда параллельно оси (h ), рисунок.4. Обозначается горизонталь буквой h, на горизонтальную плоскость проекций отрезок такой прямой проецируется без искажения, т. е. в натуральную величину (Н.В.). А угол наклона h к оси ( ) является натуральной величиной угла наклона горизонтали к фронтальной плоскости проекций П. П z h h Z h h β П h y h Рисунок.4 8

19 Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций П, называется фронталью. Все точки фронтали одинаково удалены от плоскости проекций П, значит, координата y для всех ее точек одинакова, отсюда следует, что горизонтальная проекция фронтали расположена параллельно оси (f ), рисунок.5. Угол наклона f к оси является натуральной величиной угла между фронталью и плоскостью проекций П -. Проекция отрезка f является натуральной величиной отрезка фронтали. П z f f f α α П y f f y f Рисунок.5 Прямая, параллельная профильной плоскости проекций П 3, называется профильной прямой. Все точки этой прямой одинаково удалены от П 3, значит, координата для них имеет одинаковое значение, поэтому горизонтальная и фронтальная проекции такой прямой расположены перпендикулярно оси, рисунок.6. Угол — угол наклона профильной прямой p к плоскости проекций П. Угол — угол наклона прямой p к П. Проекция отрезка p 3 является натуральной величиной отрезка профильной прямой. а) б) П z z П 3 p p p 3 α p p 3 β y y 3 П p y p y Рисунок.6 9

20 Линии уровня, лежащие в плоскостях проекций, называются нулевыми линиями уровня: нулевая горизонталь (h П ), рисунок.7 а, нулевая фронталь (f П ), рисунок.7 б. а) б) h h f f Рисунок.7 Прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются проецирующими. Таких прямых три: -горизонтально — проецирующая прямая — прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П, рисунок.8; — фронтально — проецирующая прямая — прямая, перпендикулярная П, рисунок.9; — профильно — проецирующая прямая прямая, перпендикулярная П 3, рисунок.. П a z a a = = a = = y П a Рисунок.8

21 П z b b b П b y b Рисунок.9 П z c c П 3 c 3 c z c 3 П c y c y y Рисунок. Нетрудно заметить, что проецирующая прямая одновременно является и линией уровня. На перпендикулярную ей плоскость проекций она проецируется в точку, на две другие в виде прямых, параллельных соответствующим осям проекций, а отрезок ее — без искажения. Точку, в которую проецируется прямая на перпендикулярную ей плоскость проекций, называют проекцией — носителем. Она обладает собирательным свойством: все точки, лежащие на проецирующей прямой, проецируются в проекцию носитель этой прямой, рисунок.8.

22 . Точка на прямой Точка и прямая в пространстве могут быть различно расположены относительно друг друга. Если точка в пространстве лежит на прямой, то ее проекции лежат на соответствующих проекциях этой прямой, рисунок.. А А Рисунок. Точка А принадлежит прямой, (А ), т.к. проекция А принадлежит проекции, а проекция А — проекции : (А, ). Точка В не принадлежит прямой, т.к. В не принадлежит, рисунок Взаимное положение прямых Прямые в пространстве по отношению друг к другу могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. Из инвариантных свойств проецирования известно, что проекции параллельных прямых параллельны, т.е. если m n, то m n и m n, рисунок.. Прямые линии, имеющие общую точку, называются пересекающимися. Если прямые в пространстве пересекаются, то пересекаются и их одноименные проекции. При этом точки пересечения проекций прямых лежат на одной линии связи, рисунок. б, т.е., если K = m n, то K = m n и K = m n ; K K. Прямые, не пересекающиеся и не параллельные между собой, называются скрещивающимися. Они находятся в разных плоскостях, рисунок. в, однако одноименные проекции таких прямых могут пересекаться, но точки их пересечения не лежат на одной линии связи, т.е., каждая точка пересечения проекций скрещивающихся прямых является проекцией двух точек этих прямых в пространстве. Эти точки называют конкурирующими.

23 а) б) в) m m K n m K n = ( N ) M n L n m m n K n m N M K = ( L ) Рисунок. Из рисунка. в видно, что у конкурирующих точек М и N разные ординаты (y), а у точек K и L разные аппликаты (z). На этом рассуждении основано определение видимости точек скрещивающихся прямых в позиционных задачах Теорема о проекциях прямого угла Две пересекающиеся прямые в пространстве могут быть расположены под любым углом друг к другу, в том числе и 9, т.е., быть перпендикулярными. Две прямые взаимно перпендикулярны, если каждая из них перпендикулярна плоскости, содержащей другую прямую. В начертательной геометрии доказана теорема о свойствах прямого угла. Теорема. Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, то прямой угол проецируется на эту плоскость без искажения, рисунок.3. Основываясь на этой теореме, можно просто, с минимальным количеством графических построений решать на комплексном чертеже задачи на построение: — прямых, перпендикулярных друг другу; — прямых, перпендикулярных плоскостям; — взаимно перпендикулярных плоскостей. 3

24 а) б) h f h f.. Кривые линии Рисунок.3 Множество последовательных положений некоторой точки, движущейся в пространстве, может образовать и кривую линию. Если прямая образуется движением точки в заданном направлении без его изменения, то кривая линия получается при движении точки с изменением направления. Длина отрезка кривой определяется в общем случае суммой длин отрезков заменяющей ее ломаной линии с достаточно большим количеством звеньев, с заданной точностью передающей форму кривой. Кривые линии могут быть закономерными и незакономерными. Закономерные кривые — это линии, закон образования которых известен, а незакономерные кривые — это линии, закон образования которых не установлен. Кривые линии могут быть циркульными, если кривизна их постоянна, и лекальными, если кривизна непрерывно меняется. Примером циркульной кривой может служить окружность, лекальных кривых — эллипс, парабола, гипербола и т.д. Кривые могут быть плоскими и пространственными. Плоские кривые Кривые, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими, рисунок.4. Любая кривая линия характеризуется ее порядком. Порядок алгебраической плоской кривой определяется максимальным количеством точек ее пересечения с прямой линией, лежащей в той же плоскости, что и кривая. Так, например, окружность является кривой линией второго порядка. 4

25 П z П y Рисунок.4 Для построения ортогональных проекций кривой необходимо построить проекции ряда точек, принадлежащих этой кривой, и соединить между собой одноименные проекции в той же последовательности, в какой они находились на кривой, рисунок.4. Самой простой и распространенной плоской кривой является окружность. Окружность проецируется без искажения на плоскость проекций, если она лежит в плоскости, параллельной этой плоскости проекций, рисунок.5. П z m m m D m П m y Рисунок.5 5

26 Окружность проецируется в отрезок прямой на плоскость проекций, если она лежит в плоскости, перпендикулярной этой плоскости проекций, рисунки П z m m m П m y m Рисунок.6 Окружность, лежащая в плоскости, не параллельной и не перпендикулярной ни одной плоскости проекций, проецируется на все плоскости с искажением в виде эллипсов, рисунок.7. Большие оси эллипсов принадлежат линиям уровня, соответственно горизонтали h и фронтали f, и по величине равны диаметру окружности. Малые оси перпендикулярны большим. П m m z m á) M À M X M À m m N N f f h h П y Рисунок.7 6

27 . Пространственные кривые Кривые линии, все точки которых не принадлежат одной плоскости, называются пространственными, рисунок Рисунок.8 Построение проекций пространственной кривой аналогично построению проекций плоской кривой. На ней берется ряд точек, проекции которых строятся последовательно, а затем построенные проекции точек соединяются по порядку их расположения. Геометрический порядок алгебраической пространственной кривой определяется максимальным числом точек ее пересечения с плоскостью. Пространственная кривая линия не может быть спроецирована ни на одну плоскость проекций в прямую линию. Ни одна из проекций не может дать истинного вида пространственной кривой. Чтобы определить ее длину, необходимо осуществить ее спрямление. Из пространственных кривых в технике находят широкое применение винтовые линии: цилиндрические и конические. Цилиндрическую винтовую линию называют гелисой. Винтовая линия представляет собой траекторию движения точки, равномерно вращающейся вокруг оси и одновременно перемещающейся с постоянной скоростью вдоль этой оси. На развертке цилиндрической поверхности винтовая линия изображается прямой, являющейся гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого один катет равен длине окружности основания цилиндра ( R), другой равен шагу винтовой линии (Р). Шаг винтовой линии — это величина перемещения точки в направлении оси, соответствующая одному обороту ее вокруг этой оси. Винтовая линия может быть левой, если точка перемещается от наблюдателя, вращаясь против часовой стрелки, и правой, если точка перемещается к наблюдателю, вращаясь по часовой стрелке. 7

Смотрите так же:  Получить паспорт при потере

28 = i 9 3 i R 3 α π R Рисунок.9 Горизонтальная проекция винтовой линии представляет собой окружность. Для построения ее фронтальной проекции окружность делится на равных частей, на такое же число равных частей делится и шаг Р, рисунок.9. Из точек деления окружности проводятся линии связи, а через соответствующие точки деления шага (Р) — горизонтальные прямые. Соединяя полученные точки пересечения этих прямых (,, ) плавной линией, получают фронтальную проекцию винтовой линии. Вопросы для самопроверки. Какие прямые могут проецироваться в натуральную величину?. Какие прямые называются проецирующими? 3. Как называется прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций? 4. Какая прямая называется нулевой горизонталью? 5. Как называется прямая линия, расположенная перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций? 6. Как определяется порядок плоской кривой линии? 8

29 3. ПЛОСКОСТЬ Как отмечалось выше, при движении точки в заданном направлении может быть образована линия, как прямая, так и кривая. Прямая линия, в свою очередь, тоже может перемещаться в пространстве, образуя при этом плоские геометрические объекты, имеющие два параметра: длину и ширину, т.е. двумерные объекты, рисунок 3.. n I m n Рисунок 3. Если положение прямой линии определяется в пространстве двумя ее точками, то положение плоской фигуры однозначно определяется тремя различными, не принадлежащими одной прямой, точками. В начертательной геометрии плоские фигуры называют плоскостями. Для передачи графической информации о плоскости посредством чертежа достаточно знать хотя бы две проекции элементов, определяющих ее в пространстве. Совокупность элементов (точек, линий), задающих плоскость в пространстве, называется определителем плоскости. Плоскость в начертательной геометрии чаще всего обозначается прописными буквами греческого алфавита: и т.д., определитель ее записывается в круглых скобках, например, а b). 3.. Способы задания плоскости на чертеже Если положение плоскости в пространстве определяется любыми тремя точками, то на чертеже она может быть задана проекциями: -трех точек, не лежащих на одной прямой — А, В, С), рисунок 3.; -прямой и точки вне этой прямой — (а, А), рисунок 3.3; -двух параллельных прямых — (а b), рисунок 3.4; -двух пересекающихся прямых — а b), рисунок 3.5; -пересекающихся линий уровня — (h f ), рисунок 3.6 а, в том числе и нулевых — h f ), рисунок 3.6 б; — любых плоских геометрических фигур (треугольников, прямоугольников, окружностей и т.д.) — АВС), рисунок 3.7. В частном случае, если плоскость перпендикулярна какой-либо плоскости проекций, она может быть задана ее проекцией-носителем — ), рисунок

30 3 Рисунок 3. Рисунок 3.3 Рисунок 3.4 Рисунок 3.5 Рисунок. 3.6 Рисунок 3.7 Рисунок Положение плоскости относительно плоскостей проекций Как и прямая линия, плоскость в пространстве может занимать различное положение: общее и частное. Плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения.такая плоскость проецируется на все плоскости проекций с искажением размеров, но в форме той геометрической фигуры или ее элементов, которыми она задана в пространстве. Например, если плоскость общего положения задана треугольником АВС, то и на плоскостях проекций она изображается треугольниками, рисунок 3.9. Рисунок 3.9 C C a a a a b b C a a b C a b a a a b b a b b a C C f f f =h f h h h а) б) П 3 y z 3 3 C C C 3 y y z C C C y а) б) П П C

31 Для решения большинства геометрических задач такое положение плоскости не всегда является удобным. Более выгодным положением плоскости в пространстве является ее частное положение Плоскости частного положения Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей. Таких плоскостей три: — плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (П ), называется горизонтально проецирующей, рисунок 3.; — плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (П ), называется фронтально проецирующей, рисунок 3.; — плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций (П 3 ), называется профильно — проецирующей, рисунок 3. а) П б) β П C C C β γ C C Рисунок 3. а) б) П C C C П α γ C C α Рисунок 3. 3

32 а) б) П z C C П C 3 3 C 3 П 3 y C C z y β α 3 3 C 3 y Рисунок 3. Проецирующая плоскость на перпендикулярную ей плоскость проекций всегда проецируется в прямую линию, а на две другие плоскости проекций в те геометрические элементы, которыми она задана в пространстве, с искажением их действительных величин. Преимуществом такого расположения плоскости является то обстоятельство, что упрощается задача на определение соответствующих углов наклона ее к плоскостям проекций (, ); где — угол наклона заданной плоскости к горизонтальной плоскости проекций П, — к фронтальной плоскости П, — к профильной плоскости проекций П 3. Также легко при этом находятся точки и линии пересечения рассматриваемой плоскости с другими объектами пространства, рисунок 3.3, и решаются некоторые метрические задачи. a) m б) K n a b K m = n Рисунок a b = K=Г( m n ) =Г(a b) ( )

33 Частным случаем проецирующей плоскости является плоскость, параллельная какой — либо плоскости проекций. Эта плоскость называется плоскостью уровня. Таких плоскостей три: — плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (П ), называется горизонтальной плоскостью уровня, рисунок 3.4; а) б) П z П3 C 3 C3 C 3 C z 3 C 3 3 y П C y C y Рисунок плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (П ), называется фронтальной плоскостью уровня, рисунок 3.5; а) б) П 3 C 3 C C z П 3 3 z 3 C 3 C 3 y C y П C y Рисунок

34 — плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (П 3 ), называется профильной плоскостью уровня, рисунок 3.6. а) б) П C 3 3 C z П 3 C 3 C z 3 3 C y 3 П C y C y Рисунок 3.6 Положение плоскости уровня является удобным для определения не только точек и линий пересечения заданных плоских фигур с другими геометрическими объектами, но и для определения их действительных метрических характеристик (длин, углов, периметров, площадей и т.п.), поскольку элементы этой плоскости уровня всегда проецируются на параллельную ей плоскость проекций без искажения, т.е. в натуральную величину (Н.В), а на две другие плоскости проекций — в отрезки прямых, параллельных осям, образующим данную плоскость проекций Прямая и точка в плоскости Известно, что для построения любой прямой линии необходимо иметь либо две точки, либо одну точку и направление ее перемещения. Отсюда следует, что прямая линия принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости, рисунок 3.7 а; или, если она проходит через одну точку плоскости и параллельна какой — нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, рисунок 3.7 б. Чтобы по заданной проекции прямой, принадлежащей плоскости, построить вторую ее проекцию, необходимо использовать следующий алгоритм решения, рисунок 3.7а:. На заданной проекции прямой отмечаются две характерные точки, принадлежащие проекции заданной плоскости (как правило, это точки пересечения заданной проекции прямой с проекциями геометрических элементов определителя плоскости) — М, N. 34

35 . По линиям проекционной связи находятся недостающие проекции отмеченных точек — М, N, (на одноименных проекциях определителя плоскости: М а, N b ). 3. Через построенные проекции точек — М и N проводится прямая, которая и является искомой проекцией. Примечание. Для построения недостающей проекции прямой, принадлежащей плоскости, можно использовать одну общую для них точку и параллельность заданной прямой какой-либо прямой в плоскости, рисунок 3.7 б, (если М а и М, b, то М a, M, b ). а) б) N M b a b) b a a a a M N b Рисунок 3.7 Чтобы по заданной проекции кривой линии, принадлежащей плоскости, построить вторую ее проекцию, необходимо отметить на ней не две, а ряд характерных точек, построить недостающие проекции этих точек, и затем, соединив их последовательно, построить искомую проекцию кривой линии, рисунок M M b C 3 4 C Рисунок

36 Рассмотренные выше задачи позволяют сделать вывод, что точка принадлежит плоскости, если она лежит на какой-нибудь прямой, принадлежащей этой плоскости. a N M b a b M Рисунок 3.9 Для того, чтобы по заданной проекции точки, принадлежащей плоскости, построить вторую ее проекцию, необходимо использовать следующий алгоритм решения, рисунок 3.9:. Через заданную проекцию точки (А ) проводится проекция любой прямой линии ( ), принадлежащей плоскости, а значит, имеющей с ней две общие точки.. Отмечаются проекции двух точек пересечения вспомогательной проекции прямой с проекциями линий, задающих плоскость на чертеже: М а, N b. (M = a, N = b ). 3. По линиям проекционной связи строятся недостающие проекции этих точек: М а, N b. 4. Через построенные проекции точек проводится прямая линия -, (M, N ). 5. По линии проекционной связи на этой прямой находится искомая проекция заданной точки: А. Прямые, лежащие в заданной плоскости и параллельные какой-либо плоскости проекций, а также прямые, перпендикулярные этим прямым, называются главными линиями плоскости. Как известно, линии, параллельные соответствующим плоскостям проекций это горизонталь, фронталь и профильная прямая, рисунок

37 f f а) б) в) a a h b b h f h f Г = h h h Г f = f Рисунок 3. Если плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций (горизонтально — проецирующая), то фронталь в такой плоскости перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций ( f П ), рисунок 3. б. Если плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекций (фронтально — проецирующая), то горизонталь в такой плоскости перпендикулярна фронтальной плоскости проекций (h П ), рисунок 3. в. Прямые, принадлежащие плоскости и перпендикулярные какой-либо линии уровня этой плоскости, называются линиями наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций. Для линии наибольшего наклона к плоскости П характерно, что ее горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, А М h, рисунок 3.. Соответственно для линии наибольшего наклона к плоскости П ее фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали и для линии наибольшего наклона к П 3 ее профильная проекция перпендикулярна к профильной проекции профильной прямой. a h a a a M M h b h b b b h Рисунок 3. 37

38 3.4. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, принадлежащей данной плоскости. Поэтому, чтобы через какую-нибудь точку, не принадлежащую заданной плоскости, провести параллельную ей прямую, необходимо в исходной плоскости a b), рисунок 3. выделить одну прямую (например, b) и через каждую проекцию заданной точки А (А и А ) провести одноименные проекции искомой прямой : ( и ), соответственно параллельные проекциям выделенной на плоскости прямой: b, b. a b a b Рисунок 3. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Но, как отмечалось в разделе «Линии», прямой угол проецируется на плоскость проекций без искажения, если хотя бы одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, а, как известно, линии, параллельные плоскости проекций — это линии уровня. Поэтому, чтобы построить две проекции прямого угла без искажения и на П, и на П, их необходимо строить перпендикулярно проекциям линий уровня, а т.к. горизонталь параллельна П, то прямой угол с ней для произвольной прямой будет изображаться без искажения именно на П, а с фронталью — на П, рисунок 3.3. Отсюда следует, что для построения проекции некоторой прямой, перпендикулярной заданной плоскости f h), необходимо горизонтальную проекцию искомой прямой провести перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали ( h ), а фронтальную проекцию перпендикулярно фронтальной проекции фронтали ( f ). Если плоскость будет задана другими элементами, то для построения проекций перпендикуляра к ней сначала необходимо в заданной плоскости провести линии уровня. 38

39 f Г f h f f h Рисунок 3.3 Рисунок 3.4 Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что перпендикуляром к проецирующей плоскости всегда является линия уровня, рисунок Параллельность и перпендикулярность двух плоскостей Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Поэтому, чтобы через точку, не принадлежащую заданной плоскости, провести плоскость, параллельную исходной плоскости, необходимо в последней выделить или провести любые две пересекающиеся прямые, а затем через заданную точку вне этой плоскости провести две пересекающиеся прямые, одноименные проекции которых должны быть параллельны соответственно одноименным проекциям выделенных в исходной плоскости прямых, рисунок 3.5. (m n), m, n, А Г (а b), a, b m (или n). m n b a b a m n Рисунок

40 Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости, рисунок 3.6. а) б) f h C a Г f C f C h a f C Рисунок 3.6 Чтобы задать плоскость, перпендикулярную к некоторой исходной плоскости, необходимо сначала построить прямую, перпендикулярную этой плоскости, затем к построенной прямой добавить любой из геометрических элементов, задающих плоскость в пространстве: либо другую прямую, параллельную первой или пересекающуюся с ней; либо точку вне ее; либо достроить к этому перпендикуляру треугольник или другую плоскую фигуру. На рис. 3.6 а плоскость a) Г(АВС), т.к. Г. На рис. 3.6 б плоскость Г(Г ) (АВС), т. к. f Г, f. Вопросы для самоконтроля. Какими прямыми можно задать плоскость на чертеже?. Как расположена горизонтально-проецирующая плоскость? 3. Какая плоскость проецируется в натуральную величину? 4. Перечислить главные линии плоскости. 5. Может ли профильно-проецирующая плоскость одновременно быть фронтальной плоскостью уровня? 6. Как расположена горизонтальная плоскость уровня? 4

41 4. ПОВЕРХНОСТИ Поверхность в начертательной геометрии рассматривается как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии. 4.. Способы образования и задания поверхностей Если в пространстве перемещать прямую линию по двум параллельным прямым, то получится двухмерный объект плоскость, рисунок 4. а. Если перемещать линию по кривой или ломаной линии, то образуется трехмерный объект поверхность, рисунок 4. б. а) б) m n I n I II c n-k Рисунок 4. Движущуюся линию в процессе образования поверхности называют образующей, а линию, по которой скользит образующая, называют направляющей. На рисунке 4. линия образующая, линии m, n и c направляющие. Образующими и направляющими могут быть как прямые линии, так и кривые. Способ образования объектов отображения пространства с позиции движения называют кинематическим, (kinema движение). Поверхность может быть задана непрерывным однопараметрическим множеством линий. Совокупность намеченных на поверхности образующих и направляющих линий называется линейным каркасом поверхности, который можно получить, если поверхность рассечь рядом плоскостей уровня на одинаковом расстоянии друг от друга и построить линии пересечения поверхности этими плоскостями, рисунок 4.. Такой способ задания поверхностей применяется в топографии, горном и дорожном деле. Поверхность может быть задана и точечным каркасом. Точечным каркасом называется совокупность точек на поверхности, выбранных таким образом, что, ориентируясь по ним, можно достаточно полно представить форму поверхности. 4

42 С помощью точечного каркаса, например, сконструирована крыша спорткомплекса «Олимпийский» в Москве. m 3 n 4 5 Ф Г m m m 3 m 4 m 5 m Ф Рисунок 4. Рассматривая образование поверхностей, необходимо отметить, что одна и та же поверхность может быть получена различными способами. Например, поверхность прямого кругового цилиндра может быть образована в результате: движения прямолинейной образующей по направляющей окружности c, ( перпендикулярна плоскости окружности с), рисунок 4.3 а; вращения прямой вокруг неподвижной оси i, параллельной этой прямой, рисунок 4.3 б; поступательного перемещения окружности c в направлении оси i, перпендикулярной плоскости этой окружности, рисунок 4.3 в, и т.д. а) б) в) i i c Рисунок 4.3 с Поэтому для каждой поверхности необходимо знать некоторую совокупность исходных данных, однозначно ее определяющих. К этим данным относятся как геометрические элементы поверхности, т.е. образующие и направляющие, так и закон перемещения образующей. 4